domingo, 31 de octubre de 2010

Sistema de Ecuaciones

Rectas en el Plano


Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones, por medio de los distintos métodos de resolución (igualación, sustitución, reducción y/o gráfico), estamos buscando el punto de intersección de las recta  (en el caso de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas), pero dependiendo del tipo de rectas estemos estudiando, nuestro sistema tendrá única solución, infinitas soluciones o no tiene solución. 



Sabemos que cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales, su intercepto con el eje y es distinto y por lo tanto, nunca se cortan (en el plano), así el sistema formado por dos rectas paralelas no tiene solución.



Ahora veremos que pasa cuando las rectas son secantes. Dos rectas son secantes cuando se interceptan en único punto en el plano, o visto de un punto de vista analítico poseen un punto en común.  Para que dos rectas sean secantes, la condición necesaria es que sus pendientes tienen que ser distintas (no importando su intercepto con el eje y, ahora si tienen igual intercepto, entonces las rectas se cortan en el intercepto). Esto origina un sistema formado por dos rectas secantes y tiene única solución.

Un caso particular de dos rectas secantes son las rectas perpendiculares, ya que aparte de que las rectas se cortan en un único punto, las rectas forman un ángulo recto, con vértice el punto de intersección. Sabemos que para que dos rectas sean secantes perpendiculares, el producto entre sus pendientes debe dar como resultado -1. Visto de un punto de vista algebraico las pendientes deben ser inversas multiplicativas y aditivas a la vez.


Finalmente estudiaremos cuando dos rectas son coincidentes. Dos rectas son coincidentes, si todos sus puntos son comunes. Para que dos rectas sean coincidentes sus pendientes y sus intercepto con el eje y deben ser iguales. Esto origina un sistema formado por dos rectas coincidentes y tiene infinitas soluciones.

Así hemos visto los tres tipos de rectas en el plano: rectas paralelas, secantes y coincidentes y sus condiciones. 

Acá podrás complementar todo lo aprendido hoy. Pincha en el link EducarChile

sábado, 30 de octubre de 2010

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto


Esta propiedad también se conoce como un corolario. Un corolario corresponde a un teorema que surge como consecuencia de otro.

Para demostrar entonces este corolario, usaremos el teorema de ángulo inscrito, que dice: "Todo ángulo inscrito mide la mitad del arco que lo subtiende" o "Todo ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central subtendido por el mismo arco"

Como ya sabemos un ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que lo subtiende. Ahora como el arco que subtiende corresponde a el diámetro de la circunferencia, entonces corresponde a la mitad de la circunferencia, por lo tanto, el arco mide 180º.

Ahora si tenemos un ángulo inscrito en una circunferencia, y el arco que lo subtiende mide 180º, por propiedades de ángulo inscrito, el ángulo alfa mide 90º, quedando así demostrada esta propiedad.

¿De que tipo es el triángulo que se inscribe a una semicircunferencia, siendo uno de sus lados el diámetro de esta?


Para complementar toda esta materia visita el siguiente link   circunferencia

viernes, 22 de octubre de 2010

Geometría Teorema de Pitagoras


Teorema de Pitagoras    

Muchas veces vemos este teorema solo como una formula memorista, que más que aplicar un razonamiento lógico, obliga a aplicar un algoritmo definido de solamente reemplazar y despejar.



Ahora intentaremos dar un poco de significado a una de las fórmulas que todos recuerdan de forma inmediata: 

¿Que nos querrá decir esta fórmula? Primero dibujamos un triángulo rectángulo y a sus lados trazamos cuadrados como lo muestra la figura.


Ahora en los cuadrados trazados con los catetos trazamos sus diagonales, con el fin de que nos queden en cada cuadrado 4 triángulos isósceles. Recorta los triángulos y con ellos rellena el cuadrado trazado con la hipotenusa, de forma que quede como lo muestra la figura...


Ahora podemos decir que la suma de las áreas de los cuadrados trazados con lado los catetos es igual a el área del cuadrado trazado con la hipotenusa.

¿Se cumplirá este teorema solo con trazar cuadrados con lados los catetos e hipotenusa?

La figura nos muestra la respuesta   





Ahora cuando te pregunten por el teorema de pitagoras tienes como argumentar tu respuesta!!!

Geometría en el Plano

Recta Tangente

Una recta tangente a una circunferencia es la recta que intersecta a esta en un único punto. Para construir una recta tangente a una circunferencia, definimos un punto  P de ella luego unimos P con el centro y tenemos un radio, para finalmente trazar una recta perpendicular al radio que pase por el punto P.



Ahora alguna vez te haz preguntado. ¿Por que intersecta perpendicularmente a la circunferencia?.

Para ver esto demostraremos tal teorema.

Lo demostraremos por el método del absurdo ósea suponiendo que intersecta en un ángulo distinto al de 90º.


Si la recta formara con el radio un ángulo agudo entonces debe existir otro punto que sea congruente a el anterior, de tal forma que se construye un triángulo isósceles. Por lo tanto el punto P ya no sería el único punto de tangencia ya que serían dos y por definición el punto de tangencia es único. Así OP es perpendicular a la recta que intersecta a la circunferencia en P.

Para ver todo esto de forma mas general entra al link que aparece mas abajo...

Así que no te vayas por la TANGENTE!!!!!!!





Geometría en el espacio

La esfera




Una esfera es el conjunto de puntos en el espacio que equidista de un punto fijo. Este punto fijo se llama centro de la esfera. 

Si vemos este cuerpo como un sólido de revolución, este se genera al hacer rotar un semicírculo en torno a su eje de rotación que coincide con su diámetro.


Una de las propiedades de éste cuerpo, es la fórmula de su área que es: 

Esta se puede deducir de una manera muy particular y sencilla. Para esto necesitaremos una naranja lo mas parecido a una esfera posible, una hoja de papel y lápiz.

Ahora sobre el papel ponemos la naranja y con el lápiz trazamos la mayor circunferencia posible de esta naranja.Este paso lo realizaremos 4 veces (tendremos 4 circunferencias).

Luego pelamos la naranja, le sacamos su cascara por completo. Ahora con la cascara comenzamos a rellenar las circunferencias que tenemos en nuestra hoja de papel. La cascara representa el área de una esfera.


¿Que podemos concluir con el trabajo realizado? ¿Cuantas circunferencias se pueden rellenar con la cascara de la naranja aproximadamente?




Ahora ya sabemos como se puede deducir el área de la esfera!!!!!!